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【新智元导读】2月26日，华东说念主数学家王虹和Joshua Zahl的一篇论文，在数学圈炸开了锅。几何测度论中最注视的未解难题——Kakeya集结预见，已在三维空间中被告成阐明！多东说念主猜测：王虹或能锁定下届菲尔兹奖。
一个困扰数学家一个多世纪的超等难题，如今被北大学友攻克了！
最近，纽约大学和不列颠哥伦比亚大学数学陶冶联手，用一份长达127页讲明注解，负责宣告——「Kakeya集结」预见尘埃落定。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.17655
而且，这项计划得到菲尔兹奖得主极地面笃定，他繁盛地默示：
在几何测度论中，最受注视的未解难题之一——Kakeya集结（挂谷集结）预见，目下还是被王虹和Joshua Zahl讲明注解（在三维空间中)。
Kakeya集结的中枢问题是——要是你要在空间里「动弹」一个线段，让它躲闪通盘标的，最小的空间需要多大？
挂谷预见源于日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）1917年提议的一个几何问题
数学家们早已知说念，2D平面不够用，必须通过3D空间来搞定问题。
但要道在于，能否找到一个「超等小」的3D区域，仍让这个线段指向每个标的？
如今这个谜团，被破解了！
王虹和Joshua Zahl陶冶通过层层推导，精妙的逻辑和诡计，计划了在ℝ³中具有以下性质的δ管（δ tubes）集结：即不会有太多管说念被包含在统一个凸集V内。
王虹现任纽约大学库朗数学计划所（NYU Courant）数学副陶冶，北大数学系本科毕业；Joshua Zahl现任不列颠哥伦比亚大学数学系副陶冶。
他们得出，来自这么一个集结的管说念的并集，必须具有简直最大的体积。最终讲明注解了ℝ³中的每个Kakeya集，皆具有Minkowski和Hausdorff维数3。
一时期，全网忍不住猜测：要是这篇论文最终通过严格的同业评审，王虹极有可能成为中国首位赢得菲尔兹奖的数学家，以及全球第三位拿下菲尔兹奖的女性得主。
前两位折柳是，伊朗裔好意思国数学家Maryam Mirzakhani和乌克兰数学家Maryna Viazovska。
动作数学界至高荣耀，菲尔兹奖每4年颁发一次，只给40岁以下的数学家。
王虹一度登上2026菲尔兹奖得主赔率榜首
DeepMind的计划科学家Lechao Xiao畏惧默示：之前，从未想过豆蔻年华能看到此预见被讲明注解。
这一次，中国数学家行将成为开拓者，将在数学史上留住浓墨重彩的一笔。
北大疯东说念主院毕业，学霸典范
拿起王虹，不是数学圈内的东说念主，鲜有东说念主知。
1991年，她诞生于山水甲宇宙的桂林。父母皆是广西平乐县沙子中学的广泛教会，家庭书香氛围浓厚。
可是，气运似乎很早就给这个机灵的女孩，缔造了一大考验。
5岁收学，两次跳班
4岁那年，一次或然的右臂烫伤，让王虹遇到了一场灾难。
但这并莫得成为她心里的暗影，更没涓滴动摇她对学问渴慕的决心。
入学前，在父母的尽心沟通下，年仅5岁的她便还是掌持了一年事的全部学问，凭借超强学习能力，她平直跳班参加了小学二年事。
在学习模样上，王虹有着我方的特有的节律。她不会恭候老诚的讲课程度，而是民俗在每学期驱动前，就将通盘学期的教材自学完了。
面对难题，她也少许平直向老诚乞助，更倾向于颓败想考、查阅贵府，或与同学究诘。
这种学习民俗，不仅培养她强盛得自学能力，更塑造了其颓败想考和搞定问题得能力，更为日后的学术计划奠定了坚实的基础。
到了六年事的时候，王虹再次跳班，平直升入初中。
2004年中考，她告成考入明晰桂林中学，在妙手如云的要点高校，她的收获从全年事100名以外最终冲入TOP 10。
逐梦数学，从北大到MIT
2007年，当大大批同龄东说念主还在为高考而激越时，16岁的王虹便以653分优异的收获提前考入了北地面球与空间科学学院。
可是，出于对数学的挚爱，让她在一年后浮松转入了数学科学学院。
在此时间，她的导师是王立中陶冶，并在刘张炬陶冶率领下完成了「经典Hodge表面和度量空间上的Hodge表面」的毕业论文。
本科毕业后，王虹的修业脚步，并未停歇。
2011年和2014年，她先后赢得了巴黎空洞理工学院（École Polytechnique）数学学位，以及巴黎南大学（Paris-Sud Université）数学硕士学位
紧接着在2019年，她在麻省理工学院（MIT）完成了博士学位，导师是Larry Guth。
博士毕业后，王虹的学术之路愈发秀美。
2019-2021年，她在普林斯顿高级计划院（IAS）担任博士后成员；2021-2023年，她还在加州大学洛杉矶分校（UCLA）担任助理陶冶。
目下，王虹任纽约大学库朗数学计划所（NYU Courant）的数学副陶冶。
值得一提的是，她的计划恶果得到了外洋数学界的高度招供。
2022年，王虹赢得了极具声望的「Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize」，因在截至性预见、局部光滑性预见及相关问题上的阻滞性计划，而获此盛誉。
这个奖项有益赏赐曩昔两年内赢得博士学位的凸起女性数学家。
世纪数学难题，无东说念主破解
1917年，S. Kakeya提议了著名的Kakeya针问题：在平面中，旋转一个单元线段（「针」）180 度所需的最小面积是若干？
要是围绕中点旋转，所需面积为π/4单元，而通过一个「三点掉头」模样旋转则只需π/8。
右边的三角形（deltoid）的大小是圆的一半，尽管两个指针皆能旋转经过每个标的
1927年，A. Besicovitch搞定了这个问题，给出了一个令东说念主骇怪的谜底：通过适当的模样，旋转一个针只需要苟且小的面积。
乍一看，Kakeya问题和Besicovitch的搞定有诡计，似乎只是是数学上的酷爱。
可是，在曩昔的三十年中，东说念主们渐渐意志到，这类问题与许多看似无关的数学鸿沟相关，触及到数论、几何组合学、算术组合学、回荡积分，以至是色散方程和波动方程的分析。
2014年，在Nets Katz、陶哲轩尝试讲明注解Kakeya预见十多年后，陶在他的博客上发布了详细计划才略的概述，但愿其他数学家有契机我方尝试这个才略。
127页硬核讲明注解
值得一提的是，这一篇长达127页的论文，摘录十分简明。
在论文来源，计划者概述说念：Kakeya集结预见断言，在R^n中，每个Kakeya集结的Minkowski维数和Hausdorff维数均为n。
n=2的预见已被搞定，当在三维及更高维度下，该问题仍未搞定。
而在这项责任中，计划者搞定了三维空间中的Kakeya集结预见。
驱动，计划者就给出了定理1.1：ℝ³中的每个Kakeya集结的Minkowski维数和 Hausdorff维数均为3。
它是以下这个技巧性更强的收尾的扩充。
接下来，计划者讲明注解了当集结T具有粘性时，定理1.2是成立的。（图1左）
可是，并非通盘的管状集结皆是粘性的，图1右就展示了一个反例。
为了分析这些反例，他们引入了定理1.2中非集结性假定的两种变体，以及体积臆想的两种变体。
随后，讹诈Guth提议的粒子领会变体，计划者假定了T_ρ内的δ/ρ管摆设成「晶粒」。
接下来，计划者对粒子的交叠度进行了一种粗模范臆想。
假定当两个棱柱ρ，ρ’皆属于集结ρ且相交时，它们的相应切平面在δ/(ρc)精度内一致。
由此，就到了本文的一个要道翻新点！
计划者提议了一个结构定理，该定理找到了一个凸集集结W，使得W称心Katz-Tao Convex Wolff公理，且委托集结W中的每个W（界说），皆称心几个要道性质。
陶哲轩：「下里巴人」版露出来了
为了让全球更好地统一这个问题，陶哲轩也在论文发布后，第一时期更新了一篇详细的分析。
经过大佬下里巴人的分析，许多东说念主明白了这项计划的要点和兴味处所。
几何测度论鸿沟还是取得了一些惊东说念主的进展：王虹和Joshua Zahl刚刚发布了一篇预印本，搞定了恶名昭著的挂谷集结预见（Kakeya set conjecture）的三维情况！
这个预见断言Kakeya集结——一个包含每个方进取单元线段的R^3子集，必须具有即是3的闵可夫斯基维数和豪斯多夫维数。（这个预见还有一个更强的「极大函数」变体，目下仍未搞定，尽管本文的才略将给出这个极大函数的一些非等闲界限。）
不时东说念主们用小模范0 <δ<1来翻脸化这个预见。稚子地说，该预见断言要是有一个由δ×δ×1管构成的族t，其基数为≈δ^-2，况且指向一组δ分离的标的，那么这些管的并集< pan> 的体积应该为≈1。
在这里，咱们对≈的含义稍作磨蹭，ag百家乐可以安全出款的网站但大致上应该统一为「在步地为Oε（δ^-ε）的因子鸿沟内，关于苟且ε>0」；稀薄是，这种默示法不错给与可能由二分抽屉旨趣引起的任何对数耗损。
出于技巧原因（包括需要调用前述的二分抽屉旨趣），计划者施行上处理的是稍小的集结 。 其中Y是T中管的「着色」，为集结中的每个管T分拨一个大的子集Y(T)；但在本究诘中，咱们将忽略这个好意思妙之处，假定咱们老是不错使用圆善的管。
该鸿沟以前的计划恶果常常集会在步地为：
关于各式中间维数0
1995年，在Bourgain早期责任的基础上，Wolff著名地赢得了带有d=2.5的(1)式，使用的是目下被称为「Wolff毛刷论证」的才略，该才略基于琢磨「毛刷」的大小——即通盘通过集结中单个管（毛刷的「柄」）的管的并集。
在他们的新论文中，王虹和Zahl修复了d=3的（1）式。讲明注解相配长（127页！），况且要道地依赖于他们之前的论文，该论文搞定了预见的一个要道「粘性」情况。
在这里，我想尝试转头一下讲明注解的高脉络战术，为了便于进展，我不详了许多细节，并在多处简化了论证流程。该论证照实使用了之前文件中的许多想想，包括一些来自我与合著者论文中的想想；但所需的案例分析和迭代有诡计相配复杂且缜密，需要多种新想想来完成通盘论证。
讲明注解(1)式的一个当然战术是尝试对d进行归纳：要是咱们用K(d)默示对通盘由≈δ^-2个维度为δ×δ×1的管构成的竖立，且这些管具有δ分离的标的，（1）式成立的断言，咱们不错尝试讲明注解对通盘0 0是依赖于d的某个小的正数。通过反复迭代这一流程，咱们不错盼望使d苟且接近3。
这类不息归纳法论证的一般原则是来源以非显着的模样赢得等闲蕴含K(d)⇒K(d)但愿这个非显着的论证不错通过某种扰动或优化，赢得要道的纠正K(d)⇒K(d+α)。
自从1990年代Bourgain和Wolff的责任以来（其前身是Córdoba的早期责任），兑现这一主义的范例战术是实施某种「模范上的归纳法」。
基本想想如下：让咱们称T中的δ×δ×1管T为「细管」。咱们不错尝试将这些细管分组为尺寸为ρ×ρ×1的「粗管」，其中δ≤ρ≤1是某个中间模范；关于这个简述来说，这里选拔的中间值具体是什么并不稀薄贫窭，但要是需要的话，不错缔造ρ=√δ。由于T中标的的δ分离性质，在给定的粗管中最多只可有大致小于即是(ρ/δ)^2个细管，因此咱们至少需要大致大于即是ρ^-2个粗管来躲闪≈δ^-2个细管。
目下让咱们假定咱们处于「粘本性况，即细管在粗管内尽可能地粘在沿路，因此施行上有一个包含≈ρ^-2个粗管T_ρ的集结T_ρ，每个粗管包含大致（ρ/δ）^2个细管。咱们还假定粗管T_ρ在方进取是ρ分离的，这一假定与咱们在此作念出的其他假定高度一致。
要是咱们还是有了假定K(d)，那么通过在模范ρ而不是δ上应用它，咱们不错得出粗管所占体积的下界：
由于 这实质上告诉咱们粗管的典型多重度μ_fat为约小于ρ^(d-3)； 中的一个典型点应该属于大致μ_fat为约小于ρ^(d-3)个粗管。
目下，在每个粗管T_ρ内，咱们假定有大致(ρ/δ)^2个在方进取δ分离的细管。要是咱们沿着粗管的轴进行因子为1/ρ的线性缩放，将其滚动为1×1×1的管，这将使细管扩张为尺寸为δ/ρ×δ/ρ×1的缩放后的管，这些管目下在方进取≈δ/ρ分离。
这种缩放不影响管的多重度。再次应用K(d)，咱们实质上看到缩放后管的多重度μ_fine，因此，因此T_ρ内的细管的多重度应该为约小于(δ/ρ)^(d-3)。
接下来，咱们不雅察到圆善集结T中细管的多重度μ实质上应该称心不等式：
这是因为要是一个给定点最多位于μ_fat个粗管中，且在每个粗管内，一个给定点最多位于该粗管中的μ_fine个细管中，那么它应该最多只可位于μ_fatμ_fine个管中。从直不雅上，这给出了 ，从而在粘本性况下复原了（1）式。
在他们之前的论文中，王虹和Zahl大致大要从这个论证中赢得更多收尾，得到近似于K(d)⇒K(d+α)的收尾，这在粘本性况下大致治服了Nets Katz和我本东说念主在十多年前的博客著作中究诘过的战术。我不会在这里进一步究诘论证的这一部分，请读者参考该论文的序文；相悖，我将专注于现时论文中处理非粘本性况的论证。
让咱们尝试在非粘本性况下重复上述分析。咱们假定K(d)（或其某些合适的变体），并琢磨一些增厚的Kakeya集结：
其中，T近似于咱们可能称为模范δ的「Kakeya竖立」：一个由δ^-2个维度为δ×δ×1的细管构成的集结，这些细管在方进取δ分离。（施行上，为了使归纳法有用，咱们必须琢磨比这些更一般的管的族，称心一些范例的「Wolff公理」而不是标的分离假定；但咱们暂时不详细究诘这个问题。）咱们的主义是讲明注解近似于K(d+α)的收尾，其中α>0，这特别于赢得一些纠正的体积界限：
这纠正了来自K(d)的界限 。 从之前的论文中咱们知说念咱们不错在「粘性」情况下作念到这一丝，是以咱们将假定E是「非粘性的」（岂论这具体是什么兴味）。
一个典型的非粘性缔造是目下有mρ^-2个粗管，其中m>>>1是某个多重度（举例，m=δ^-η，其中η>0是一个小常数），每个粗管只包含m^-1 (δ/ρ)^-2个细管。目下咱们濒临一个糟糕的抗击衡：粗管酿成了一个「超等Kakeya竖立」，在粗模范ρ上有太多的管，使它们不可能皆在方进取ρ分离，而粗管内的细管酿成了一个「次级Kakeya竖立」，其中莫得饱和的管来躲闪通盘相关标的。因此，咱们不行在职一模范上有用地应用假定K(d)。
这似乎是一个严重的阻滞，因此让咱们换一种想路，琢磨一种不同的模样来尝试完成论证——让咱们望望，E会怎么与给定的ρ-球B(x,ρ)相交。
假定K(d)标明E可能施展得像一个d-维分形，在这种情况下，咱们可能会推测|E∩B(x,ρ)|的大小步地为(ρ/δ)^dδ^3。为了进行论证，假定集结E在这个模范上比这更密集，举例咱们有：
对通盘x∈E和某个α>0成立。咱们不雅察到ρ-邻域E基本上是 ，因此把柄假定K(d)，其体积为约大于ρ^(3-d)（施行上咱们以至盼望在m上有一些增益，但咱们暂时不尝试捕捉这么的增益）。由于ρ-球的体积为≈ρ^3，这应该意味着E需要大致ρ^-d个球来躲闪它。应用(3)式，咱们从直不雅上有：
这将给出所需的增益K(d+α)。是以要是咱们大要在某个中间模范ρ展示条款(3)，咱们就赢了。我觉得这是一种[Frostman测度的抵牾]，因为Frostman类型的界限：
正在被抵牾。
集结E动作厚度为δ管的并集，本体上是δ×δ×δ立方体的并集。但在之前的陶哲轩和Nets Katz、Izabella Laba等的计划中还是不雅察到，这些Kakeya集结倾向于组织成比这些立方体更大的「颗粒」。稀薄是，关于某些中间模范δ<<
Nets、Izabella和陶哲轩来源提议的「颗粒性」论证需要一个粘性假定，而咱们在此明确不作念这一假定（还需要一个「X射线臆想」），因此不行平直用于现时的论证。不外，Guth基于多项式才略诱惑了一种替代的颗粒性才略，不错适用于这种情况。通过再行缩放，就不错确保单个粗管T_ρ内的细管将组织成再行缩放后维度为δ×ρc×c的颗粒。与单个粗管相关的颗粒基本上是不相交的；但来自不同粗管的颗粒之间可能存在叠加。
颗粒的确凿维度ρc, c并未事前指定；Guth的论证将标明ρc彰着大于δ，但除此以外莫得其他界限。原则上，咱们应该大要在不失一般性的情况下假定颗粒尽可能「大」。这意味着不再有维度为δ×ρ’c’×c’的更长的颗粒，其中c'浩荡于c；关于固定的c，也不存在维度为δ×ρ’c×c的更宽的颗粒，其中ρ’浩荡于ρ。
一种较为退化的情况是，存在维度约为δ×1×1的巨大颗粒（即ρ≈c≈1），使得Kakeya集E更像是平面板的并集。在这种情况下，Córdoba的经典L^2论证大要给出精致的臆想，因此这被讲明注解是一个相对浅薄的情况。是以咱们不错假定ρ或c中至少有一个很小（或两者皆小）。
目下咱们再行凝视多重度不等式。这个不等式有些奢华，因为用于界说μ_fat的粗管占据了许多不在E中的空间。这里的一个纠正不等式是：
其中μ_coarse不是粗管T_ρ的多重度，而是更小集结 的多重度。这里的要道点是，把柄颗粒性假定，每个 是基本不相交的中间维度δ×ρc×c颗粒的并集。因此，量μ_coarse基本上是在测量颗粒的多重度。
收尾标明，经过适合的再行缩放后，颗粒的摆设在局部上看起来像是ρ×ρ×1管的摆设。在遐想情况下，这些管会呈现出Kakeya（或次级Kakeya）竖立的特征，举例在给定方进取莫得过多的管。（更准确地说，这里应该假定某种步地的Wolff公理，作家称之为「Katz-Tao凸Wolff公理」）。假定K(d)的一个合适变体将给出以下界限：
同期，粗管内的细管将酿成一个次级Kakeya竖立，比Kakeya竖立少约m倍的管。不错讲明注解，通过使用K(d)不错在m上赢得增益：
其中σ＞0是一个小常数。将这些界限代入（4）式，不错得到一个精致的界限 ，这就导致了所需的增益K(d+α)。
因此剩下的情况是当颗粒不施展为再行缩放的Kakeya或次级Kakeya竖立时。Wang和Zahl引入了一个「结构定理」来分析这种情况，得出论断是颗粒将组织成一些更大的凸棱柱W，每个棱柱W中的颗粒施展为「超等Kakeya竖立」（比Kakeya竖立有彰着更多的颗粒）。可是，这些棱柱W的精准维度并未事前指定，需要进一步分情况究诘。
一种情况是当棱柱W是「厚的」，即通盘维度皆彰着大于δ。直不雅上讲，这意味着在小模范上，E在再行缩放后看起来像一个超等Kakeya竖立。通过一个特别冗长的模范归纳论证，Wang和Zahl大要讲明注解（一个合适变体的）K(d)意味着它自身的「X射线」变体，其中超等Kakeya竖立的下界彰着好于Kakeya竖立的下界。这么作念的收尾是，在这种情况下大要赢得步地为（3）的Frostman测度抵牾界限，如前所述，这已足以搞定这种情况。
剩下需要处理的是棱柱W是「薄的」情况，即它们的厚度≈δ。在这种情况下，Córdoba的L^2论证，勾通每个薄棱柱内颗粒的超等Kakeya性质，标明每个棱柱简直总计被集结E占据。这施行上意味着，这些棱柱W自身不错被视为Kakeya集结的颗粒。但这与颗粒维度的最大性相矛盾（要是一切缔造正确）。
这一收尾处理了完成模范归纳所需的终末剩余情况，从而讲明注解了Kakeya预见！
参考贵府：JHNYZ
https://terrytao.wordpress.com/2025/02/25/the-three-dimensional-kakeya-conjecture-after-wang-and-zahl/
https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631
https://edu.sina.com.cn/gaokao/2007-09-03/172299220.shtml
https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/