ag百家乐网址困扰数学家近60年的搬沙发难题疑似被贬责！119页论文讲授最优解

发布日期：2024-12-26 02:47 点击次数：119

机器之心报谈

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《诤友记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。

生存中处处充满数学，比如在经典好意思剧《诤友记》中，罗斯要搬家，却在和瑞秋抬沙发上楼梯扶手时翻了车。这触及了数学规模一个驰名的未贬贬低题 —— 迁移沙提问题（the moving sofa problem）。

开始：《诤友记 S05E16》

该问题是由加拿大数学家 Leo Moser 于 1966 年精采提议：在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，简略通过一个直角转弯的「沙发」的最大面积是些许？

1968 年，数学家 John Michael Hammersley 提议了一种浅易的解法。他将沙发想象成访佛于一个电话听筒的时局，由两个四分之一圆和一个中间的矩形块组成，中间的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的沙发最大面积为 2.2074。

但缺憾的是，这并不是最优解。

1992 年，好意思国数学家 Gerver 在 Hammersley 沙发的基础上进行了改良，算出的最大沙发面积为 2.2195，诚然比 Hammersley 沙发面积略大一些，但在按次上却灵巧得多。

Gerver 沙发由 18 条不同的弧线段组成，其中包括圆弧、圆的渐开线以及圆的渐开线的渐开线等多种弧线。每条弧线段齐由一个单独的领会抒发式描述，这使得 Gerver 沙发在数学上相等复杂。

Gerver 推测他的贬责决策是最优的，但他无法讲授他的沙发是唯独一个（况且是最大面积的）满足这个强要求的沙发。

2024 年 12 月 2 日，韩国粹者 Jineon Baek 发表了一篇新论文，宣称讲授了 Gerver 确乎是正确的 —— 他的沙发是最优的。这项探究在外交媒体（如 x）上的热度相等高，引起了许多东谈主的温雅。

图源：x@Scientific_Bird

图源：x@morallawwithin

不外，Jineon Baek 的讲授论文足足有 119 页，题目为《Optimality of Gerver’s Sofa》。干系民众考据讲授的正确性还需要一些时代。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

这谈困扰东谈主类 58 年的数学难题终于有了谜底，不少网友也发表了我方的认识。

「我甚而不是数学家，自从 20 年前据说这个问题后，我就一直在念念考它。每次我需要把东西通过门时，我齐会意想这个问题。」

「我没意想这个时局会是最优的，这 18 个部分看起来不够优雅。」

讲授流程简述

论文共分 8 章，目次如下：

摘录唯有一句话，「通过讲授具有 18 个弧线段的 Gerver 沙发委果达到了最大面积 2.2195，进而贬责了迁移沙提问题」。

下图为 Gerver 的沙发 G。刻度暗意组成 G 畛域的 18 条领会弧线和线段的端点，包含 G 的支合手走廊 L_t 在右侧以灰色暗意。

在讲授 Gerver 的沙发 G 达到最大面积的流程中，作家除了在科学蓄意器上进行数值蓄意以外，莫得使用任何的蓄意机辅助。下图 1.3 为从走廊（顶部）和沙发（底部）视角来看迁移沙发的迁移。

底下为作家要讲授的定理 1.1.1。

这个问题之是以很难，是因为莫得一个通用的公式不错蓄意整个可能的迁移沙发面积。因此，为了贬责这个问题，作家讲授了最大面积的迁移沙发 S_max 的一个属性，被称为可注入性要求（injectivity condition）。

对于每个满足要求的迁移沙发 S，作家将界说一个更大的时局 R，它访佛于 Gerver 沙发的时局（下图 1.2）。那么 R 的面积 Q (S) 即是 S 面积的上限，ag百家乐真实性若是是 Gerver 沙发 G，则 Q (S) 与 S 的精准面积相匹配。S 的可注入性要求确保区域 R 的畛域酿成 Jordan 弧线，从而简略使用格林定理蓄意 Q (S)。

然后，迁移沙发 S 面积的上界 Q (S) 相对于 S 的最大值如下所示：作家使用 Brunn-Minkowski 表面将 Q 暗意为凸体元组 (K,B,D) 空间 L 上的二次函数（上图 1.2），并使用 Mamikon 定理确立 Q 在 L 上的全局凹性（下图 1.13）。

作家使用加州大学戴维斯分校数学系西宾 Dan Romik [Rom18] 对于 Gerver 沙发 G 的局部最优方程，来讲授 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。况且，由于上界 Q 与 G 处的面积相匹配，因此沙发 G 也全局最大化了面积，从而讲授定理 1.1.1。

具体来讲，定理 1.1.1 的齐备讲授分为以下三个主要要领：

要领 1 ：限度最大面积迁移沙发 S_max 的可能时局；要领 2 ：确立 S_max 的可注入性要求；要领 3 ：构建满足可注入性要求的迁移沙发 S 面积的上界 Q (S)，并最大化对于 S 的 Q (S)。

作家提供了要领 1、2、3 的更细分要领。

其中要领 1-(a) 将 S_max 的可能时局收缩为单调沙发（monotone sofa），即由支合手走廊内角雕镂出的凹痕的凸体（下图 1.4）。

要领 1-(b) 从头讲授了 Gerver 的一个进犯局部最优要求，即 S_max 的边长应该互相均衡（定理 1.3.1）。

由于 Gerver 的原始讲授存在逻辑误差，莫得贬责迁移沙发的连通性问题，因此作家引入了新的办法并从头进行了讲授。要领 1-(c) 使用前边的要领和基本几何来标明 S_max 在迁移流程中旋转了整整一个直角。

要领 2 讲授了 S_max 上的可注入性要求，这是之后确立上限 Q 的关节。它标明 L 内角 (0,0) 的轨迹在迁移沙发的视角（参考系）中不会酿成自环（下图 1.9）。

为了讲授 S_max 的这一要求，作家在 S_max 上确立了一个新的微分不等式（等式 (1.9)。该不等式受到了 Romik 的一个 ODE 的启发，该 ODE 均衡了 Gerver 沙发的微分边（等式 (1.8)）。

要领 3-(a) 将整个迁移沙发的空间 S 推广为具有单射要求的凸体元组 (K,B,D) 的集中 L，使得每个 S 逐个映射到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。该凸体描述了包围 S 的区域 R 的不同部分（上图 1.2）。

要领 3-(b) 界说了推广域 L 上的上界 Q。作家礼服 R 的畛域，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 表面中对于 K、B 和 D 的二次面积抒发式来暗意其面积 Q。同期使用单射要求和 Jordan 弧线定理严格讲授 Q (K,B,D) 是 S 面积的上界。

要领 3-(c) 使用 Mamikon 定理详情 Q 在 L 上的凹度（上图 1.13）。要领 3-(d) 蓄意由 Gerver 沙发 G 产生的凸体 (K,B,D) ∈ L 处 Q 的标的导数。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最优 ODE 用于标明标的导数长期为非适值。这意味着 G 是 Q 在 L 中的局部最优值。Q 在 L 上的凹度意味着 G 亦然 Q 在 L 中的全局最优值。由于 G 处 Q 的值与面积匹配，沙发 G 也全局最大化了面积，最终完成定理 1.1.1 的讲授。

更具体的讲授细节请参考原论文。

作家先容

这篇论文的作家 Jineon Baek，本科毕业于韩国浦项科技大学，博士时刻就读于好意思国密歇根大学安娜堡分校。现为韩国首尔延世大学的博士后探究员，导师是 Joonkyung Lee。